数字寓意,一些有特殊意义的数字,你知道多少呢?

毕达哥拉斯说:数统治着宇宙。伯克霍夫说:“整数的简单构成,一直是使数学获得新生的源泉。”在整个数学中,数论(对数的研究)分支是最“美”的,像一座长满奇异花草的大花园。而对一些特殊数的探究,吸引着众多的专家和数学爱好者用大量的精力去研究而乐此不疲。


下面介绍几种特殊的自然数。



1.完全数

如果一个自然数等于除它自身以外的各个正因子之和,则这个数叫做完全数。完全数是被古人视为瑞祥的数,古希腊人在公元2世纪末已发现了四个完全数。最小的一个完全数是6=1+2+3。意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数,以象征美满的婚姻。


在自然数里,到底有多少完全数呢?有人作过统计,在1到40000000这么多数里,只有5个完全数,它们是


6=1+2+3


28=1+2+4+7+14


496=1+2+4+8+16+31+62+124+248


8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064


还有一个完全数是3350336。可见完全数是非常稀少的。


从第四个完全数8128到第五个完全数33550336的发现经过了一千多年,这是因为第五个完全数要比第四个完全数大了4100多倍。这可能是历经一千多年才艰难跨出一步的原因。


完全数还有一些鲜为人知的性质,如:


(1) 所有完全数都可以表达为2的一些连续整数次幂之和,如图1,


图1


(2) 除了6以外,其他完全数可表示为连续奇数的三次方之和,如图2


图2


如此完美的模式,难怪完全数如此的迷人,具有魅力,因此,完全数是极美的数。


(3)迄今为止,发现的完全数都是偶数,还没有发现一个奇完全数,但也没有证明奇完全数不存在。


(4)迄今为止,发现的完全数都具有以下的形式N=2^(n-1)( 2^n-1)(其中n与2^n-1都是素数)


2.亲和数

若自然数M的全部正因子(去掉其本身)之和,恰为自然数N,而N的全部正因子(去掉其本身)之和恰为自然数M,则称M、N为一对亲和数。最简单的一对亲和数是220284,把220的全部正约数(不包括220本身)加起来为


1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284;


而把284的全部正约数(不包括284本身)加起来为1+2+4+71+142=220


想不到枯燥的数字之间也有这种“我中有您,您中有我”的亲密无间的“相亲数”。在毕达哥拉斯时代就知道有这一对亲和数。当时人们认为只有这一对亲和数,一直延续了两千多气年,人们对此坚信不移。直到1636年皮勒发现并公布了第二对亲和数17296和18416,这才破除了只有一对亲和数的迷信,也激发起了寻找更多亲和数的热情。


如今,人们已经发现了1200对亲和数。电子计算机出现后,人们可以用高速度大容量的计算去探索更多的亲和数。人们现在已知最大的一对亲和数是111 448 537 712和118 853 793 424,要把它们的因数找出来再求和,推证它们之间的关系,没有现代计算机工具的帮助是很困难的。


3.完全平方数

一个整数的平方称为完全平方数,简称平方数。如:1、4、9、16、25、36、49、64、81、…… 都是平方数。在整数中除了素数外,最引人注目的就是平方数。平方数在正整数中比素数更加稀疏,且具有规律性。不超过正整数n的平方数(不算0)的个数是根号n的整数部分。


在哪些情况下可以出现完全平方数?


(1)前n个奇数的和一定是平方数。


(2)前n个正整数的和有可能是平方数,如1+2+3+…+8=6^2,1+2+3+…+49=35^2,……这种和数中包含的平方数有无穷多个。


(3) 四个相邻正整数的乘积与1的和一定是完全平方数,


例如1·2·3·4+1=52,2·3·4·5+1=112,3·4·5·6+1=182,5·6·7·8+1=292。


一般地有,如图3所示


图3


4.多边形数

多边形数是这样的数,它的形状与多边形的形状有着密切的关系,例如(图4~图6):


图4


图5


图6


5.勾股弦数

我们把满足不定方程a^2+b^2=c^2的正整数a、b、c称为勾股弦数。


我国古代数学书《周髀算经》中,就已有“勾三、股四、弦五”的提法,即3^2+4^2=5^2。


刘徽的《九章算术注》中,又记录了5^2+12^2=13^2,


8^2+15^2=17^2,7^2+24^2=25^2,20^2+21^2=29^2,……许多组整数解。


古希腊数学家毕达哥拉斯指出,当n是奇数时,n, (n^2-1)/2,(n^2+1)/2是勾股弦数。


现在大家都知道,勾股弦数是无穷无尽的,而且许多的勾股弦数都能由下面的公式(见图7)


图7


勾股弦数正好满足直角三角形三边关系,即勾股定理


是否有满足a^2+b^2+c^2=d^2的正整数解a、b、c、d呢?


回答是肯定的。同时想要举出这样的数组并不困难。只需将两个勾股数相加,便可得到,如3^2+4^2=5^2和5^2+12^2=13^2相加即得3^2+4^2+12^2=13^2,又如8^2+15^2=17^2和9^2+12^2=15^2相加即得8^2+9^2+12^2=17^2。


6.还有许多有趣的数

(1)魔术数:如果一个数接写在另一个数后面,所得到的新数能被这个数整除,则这个数称为魔术数。如2接写在37后面得到372,能被数2整除,数2是一个魔术数。


(2)缺8数:如今人们把“8”与“发”划上等号,指对它的青睐。然而,有许多人竟在研究一个缺8数12345679。这个数有许多有趣的性质:例如(见图8)


图8


缺8数还有许多有趣的性质等待人们去发掘。


(3)史密斯数:美国数学家阿尔伯特·威兰斯基在同他姐夫史密斯交谈时,发现他的电话号码4937775是几个素数的积3×5×5×65837表示的合数。这些数之和3+5+5+6+5+8+3+7=42,而这个数各位数字之和4+9+3+7+7+7+5=42也是42.我们称具有这种性质的数为史密斯数。


图9


在奇妙的数的世界里遨游,不但能开阔眼界,还能启迪人的智慧。


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